設(shè)橢圓 C1：（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線 C2：x2=4y的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率e=，過橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）若AB是橢圓C經(jīng)過原點(diǎn)O的弦，MN∥AB，求證：為定值。
解：（1）橢圓的頂點(diǎn)為，
，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。
（2）由題可知，直線l與橢圓必相交；
①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意；
②設(shè)存在直線l為，
由，
，

，
所以，
故直線l的方程為。
（3）設(shè)，
由（2）可得：
|MN|=
，
由，
|AB|=，
∴為定值。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其中右焦點(diǎn)F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF2|=
5
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)E(0，
1
2
)，是否存在斜率為k （k≠0）的直線l與橢圓C1交于A、B兩點(diǎn)，且|AE|=|BE|？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
3
，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心、橢圓C1的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓O相切．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，直線l1過點(diǎn)F1，且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l2垂直于l1，垂足為點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；
（3）過橢圓C1的左頂點(diǎn)A做直線m，與圓O相交于兩點(diǎn)R、S，若△ORS是鈍角三角形，求直線m的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：山西省模擬題 題型：解答題

設(shè)橢圓C1：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，下頂點(diǎn)為A，線段OA的中點(diǎn)為B（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），如圖，若拋物線C2：y=x2-1與y軸的交點(diǎn)為B，且經(jīng)過F1，F(xiàn)2點(diǎn)。
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)M（0，-），N為拋物線C2上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線C2的切線交橢圓C1于P、Q兩點(diǎn)，求△MPQ面積的最大值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年河北省邢臺(tái)一中高二（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)橢圓 C1：（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線 C2： 的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率 ，過橢圓右焦點(diǎn) F2的直線 l 與橢圓 C 交于 M，N 兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線 l，使得 ，若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，說明理由．

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