Question

設(shè)橢圓 C₁：（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線 C₂： 的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率 ，過(guò)橢圓右焦點(diǎn) F₂的直線 l 與橢圓 C 交于 M，N 兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線 l，使得 ，若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合離心率，即可求得橢圓C的方程；
（2）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，及向量數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）拋物線 C₂： 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），
∴橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為（0，），即b=
∵，∴a=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由題意，直線l與橢圓必相交
①斜率不存在時(shí)，直線l為x=1，代入橢圓方程，可得y=，∴，不合題意；
②斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
直線方程代入橢圓方程，消去y可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=，
∴=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=+k²（-+1）==-2
∴k=，
故直線l的方程為y=（x-1）或y=-（x-1）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．