Question

10．已知函數(shù)f（x）=（a-2）x²+（2a-3）x+2，g（x）=x+6
（1）若a=1，解不等式f（x）≥0；
（2）若f（x）＜g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入f（x），解不等式，求出解集即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0，通過討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）由a=1，f（x）≥0，
得：-x²-x+2≥0，
得不等式的解為：[-2，1]；
（2）由f（x）＜g（x）得（a-2）x²+（2a-3）x+2＜x+6，
即（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0，
①a=2時，有-4＜0，合題意；
②a≠2時，要滿足（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0恒成立，
則必須$\left\{{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{△=4{{（a-2）}^2}+16（a-2）＜0}\end{array}}\right.$，
解得：-2＜a＜2，
綜合①②得a的取值范圍是（-2，2]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)恒成立問題，解出解不等式，是一道中檔題．