Question

8．若曲線y=f（x）在點A（x₁，y₁）處切線的斜率為k_A，曲線y=g（x）在點B（x₂，y₂）處切線的斜率為k_B（x₁≠x₂），將$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$的值稱為這兩曲線在A，B間的“異線曲度”，記作φ（A，B）．現給出以下四個命題：
①已知曲線f（x）=x³，g（x）=x²-1，且A（1，1），B（2，3），則φ（A，B）＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②存在兩個函數y=f（x），y=g（x），其圖象上任意兩點間的“異線曲度”為常數；
③已知拋物線f（x）=x²+1，g（x）=x²，若x₁＞x₂＞0，則φ（A，B）＜$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
④對于曲線f（x）=e^x，g（x）=e^-x，當x₁-x₂=1時，若存在實數t，使得t•φ（A，B）＞1恒成立，則t的取值范圍是[1，+∞）．
其中正確命題的個數是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根據新定義，判斷φ（A，B）＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得出①錯誤；
②舉例說明存在φ（A，B）=0是常數，得出②正確；
③驗證φ（A，B）＜$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，判斷③正確；
④判斷φ（A，B）對t•φ（A，B）＞1恒成立時，t的取值范圍是什么，得出④正確．

解答 解：對于①，∵f（x）=x³g（x）=x²-1，∴f′（x）=3x²，g′（x）=2x
∴k_A=3×1²=3，k_B=2×2=4，且|k_A-k_B|=1，
則|AB|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（3-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴φ（A，B）=$\frac{1}{\sqrt{5}}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，①錯誤；
對于②，如f（x）=c₁，g（x）=c₂，且c₁≠c₂時，存在不同的兩點A、B，使k_A=k_B=0，∴φ（A，B）=0是常數，②正確；
對于③，∵f（x）=x²+1g（x）=x²
∴φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$=$\frac{|2{x}_{1}-2{x}_{2}|}{\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{{x}_{1}}^{2}+1-{{x}_{2}}^{2}）^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+[（{x}_{1}-{x}_{2}）+\frac{1}{{x}_{1}-{x}_{2}}+2{x}_{2}]^{2}}}$
≤$\frac{2}{\sqrt{1+（2+2{x}_{2}）^{2}}}$＜$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴③正確；
對于④，由f（x）=e^x，得f′（x）=e^x，
g（x）=e^-x，得g′（x）=-e^-x，
∴φ（A，B）=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}+{e}^{-{x}_{2}}|}{\sqrt{1+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{-{x}_{2}}）^{2}}}$，
t•φ（A，B）＞1恒成立，即t|${e}^{{x}_{1}}+{e}^{-{x}_{2}}$|＞$\sqrt{1+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{-{x}_{2}}）^{2}}$恒成立，
∴t＞1，∴④正確．
故選：C．

點評 本題考查了新定義的函數的性質與應用問題，解題時應根據函數的新定義的內容進行分析、判斷，選出符合題意的答案，是較難的題目．