Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，且PC⊥平面ABCD，PC＝AC＝2,E是PA的中點。

(1)求證：AC⊥平面BDE；

(2)若直線PA與平面PBC所成角為30°，求二面角P-AD-C的正切值；

(3)求證：直線PA與平面PBD所成的角φ為定值，并求sinφ值。

 

 

Answer 1

（1）見解析       (2) tan∠PDC =   (3) sinφ=

【解析】（1）設CA與BD相交于O，連EO，

由底面ABCD是菱形得O是中點，且CA⊥BD，

E是PA的中點，得OE//PC

∵ PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD

∴ OE⊥AC

∴ AC⊥面BDE 

（2）由上知，建立如圖坐標系，設BD＝2a;

設平面的法向量為

,令x=1得

由題意PA與面PBC所成角為30°，得：得a=1。

解法一：當a=1時，底面ABCD是正方形，AD⊥CD

∵ PC⊥平面ABCD

∴ PC⊥AD

∴ AD⊥面PCD

則PD⊥AD

∠PDC是二面角P-AD-C的平面角，且tan∠PDC =解法二：當a=1時，

面ACD的法向量為（0,0,1），設面PAD的法向量為

令x=1,則

二面角P-AD-C的平面角為銳角θ，cosθ=,tanθ=(3)設面PBD的法向量為

令z=1得

則sinφ=為定值。