Question

化簡：

C

0 n

+

C

1 n

+2²

C

2 n

+…+n²

C

n n

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：組合及組合數(shù)公式,數(shù)列的求和

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,二項(xiàng)式定理

分析：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（1+x）ⁿ利用二項(xiàng)式定理展開，求導(dǎo)數(shù)，再兩邊同乘x然后求導(dǎo)數(shù)，通過x=1可以得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)f（x）=（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+C_n³x³+…+C_nⁿxⁿ…①，
①式兩邊求導(dǎo)得：n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1，…②
②式兩邊同乘x得：nx（1+x）^n-1=xC_n¹+2C_n²x²+3C_n³x³+…+（n-1）C_n^n-1x^n-1+nC_nⁿxⁿ，…③，
③式兩邊求導(dǎo)得：n（1+x）^n-1+n（n-1）x（1+x）^n-2=C_n¹+2²C_n²x+3²C_n³x²+…+（n-1）²C_n^n-1x^n-2+n²C_nⁿx^n-1，…④，
④式中令x=1得，C_n¹+2²C_n²+3²C_n³+…+（n-1）²C_n^n-1+n²C_nⁿ=n2^n-1+n（n-1）2^n-2=2^n-2•n（n+1）；
∴

C

0 n

+

C

1 n

+2²

C

2 n

+…+n²

C

n n

=2^n-2•n（n+1）+1．
故答案為：2^n-2•n（n+1）+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)靈活的構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出結(jié)果，是難題．