Question

19．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+1（a≠0），下列結論中錯誤的是（　�。�

• A． ?x₀∈R，使得f（x₀）=0
• B． 函數(shù)y=f（x）的圖象一定是中心對稱圖形
• C． 若x₀是函數(shù)f（x）的極值點，則f'（x₀）=0
• D． 若x₀是函數(shù)f（x）的極小值點，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，x₀）上單調遞減

Answer 1

分析 A．不妨設a＞0，則x→-∞時，f（x）→-∞；x→+∞時，f（x）→+∞，即可判斷出結論．
B．f′（x）=3ax²+2bx+c，f″（x）=6ax+2b，由于f″（x）=6a×（-$\frac{3a}$）+2b=0，可得函數(shù)f（x）關于點$（-\frac{3a}，f（-\frac{3a}））$對稱，即可判斷出結論．
C．利用函數(shù)極值點的必要條件即可判斷出結論．
D．若a＞0，f′（x）=3ax²+2bx+c，則二次函數(shù)y=3ax²+2bx+c的圖象開口向上．若x₁，x₀是函數(shù)f（x）的極值點，且x₀是函數(shù)f（x）的極小值點，則x₁＜x₀，利用導數(shù)即可判斷出其單調區(qū)間．

解答 解：A．不妨設a＞0，則x→-∞時，f（x）→-∞；x→+∞時，f（x）→+∞，因此函數(shù)?x₀∈R，使得f（x₀）=0，正確．
B．∵f（x）=ax³+bx²+cx+1（a≠0），∴f′（x）=3ax²+2bx+c，f″（x）=6ax+2b，∵f″（x）=6a×（-$\frac{3a}$）+2b=0，∴函數(shù)f（x）關于點$（-\frac{3a}，f（-\frac{3a}））$對稱，正確．
C．若x₀是函數(shù)f（x）的極值點，則f'（x₀）=0，正確．
D．若a＞0，f′（x）=3ax²+2bx+c，則二次函數(shù)y=3ax²+2bx+c的圖象開口向上．
若x₁，x₀是函數(shù)f（x）的極值點，且x₀是函數(shù)f（x）的極小值點，則x₁＜x₀，因此函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間為（x₁，x₀），單調遞增區(qū)間為：（-∞，x₁），（x₀，+∞），因此不正確．
綜上可知：只有D錯誤．
故選：D．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值、對稱性、二次函數(shù)的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．