知二次函數(shù)f（x）滿足f（-2+k）=f（-2-k）（k∈R），且該函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1），在x軸上截得的線段長為2
2
，求該二次函數(shù)解析式為
f（x）=
1
2
x2+2x+1
f（x）=
1
2
x2+2x+1
．
分析：先設(shè)出二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的表達(dá)式，再利用其對(duì)稱性、與y軸交于點(diǎn)（0，1）及在x軸上截得的線段長為2
2
，可列出關(guān)于a、b、c一個(gè)方程組，解出即可．
解答：解：設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）．
∵二次函數(shù)f（x）滿足f（-2+k）=f（-2-k）（k∈R），可知該二次函數(shù)關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，∴-
b
2a
=-2，即b=4a．
∵該函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1），∴f（0）=1，即c=1．
設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c與x軸相較于點(diǎn)（x1，0），（x2，0）．
令f（x）=ax2+bx+c=0，則x1+x2=-
b
a
，x1x2=
c
a
．
∵此二次函數(shù)的圖象在x軸上截得的線段長為2
2
，
∴|x2-x1|=2
2
，即
(x1+x2)2-4x1x2
=2
2
．
∴
b2
a2
-4×
c
a
=8，即b2-4ac=8a2．
聯(lián)立
b=4a
c=1
b2-4ac=8a2
．解得
a=
1
2
b=2
c=1
．
∴f（x）=
1
2
x2+2x+1．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知二次函數(shù)h（x）=ax2+bx+c（其中c＜3），其導(dǎo)函數(shù)y=h′（x）的圖象如圖，f（x）=6lnx+h（x）．
（1）求函數(shù)f（x）在x=3處的切線斜率；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間(1，m+
12
)上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=-x，x∈（0，6]的圖象總在函數(shù)y=f（x）圖象的上方，求c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)g（x）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足g（x+1）=g（x）+2x+1，設(shè)函數(shù)f（x）=mg（x）-ln（x+1），其中m為非零常數(shù)
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）當(dāng)-2＜m＜0時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并且說明理由；
（3）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln(
1
n
+1)＞
1
n2
-
1
n3
恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)g（x）對(duì)?x∈R都滿足g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1且g（1）=-1，設(shè)函數(shù)f(x)=g(x+
1
2
)+mlnx+
9
8
（m∈R，x＞0）．
（1）求g（x）的表達(dá)式；
（2）若?x∈R+，使f（x）≤0成立，求實(shí)數(shù)g（x）=-x3+2x2+mx+5的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)g（x）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足g（x+1）=g（x）+2x+1，設(shè)函數(shù)f（x）=m[g（x+1）-1]-lnx，其中m為常數(shù)且m≠0．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）當(dāng)-2＜m＜0時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并且說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)g（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x都滿足g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1，且g（1）=-1．令f(x)=2g(x+
1
2
)+mx-3m2lnx+
9
4
(m＞0，x＞0)．
（1）求g（x）的表達(dá)式；
（2）若函數(shù)f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值為0，求m的值；
（3）記函數(shù)H（x）=[x（x-a）2-1]•[-x2+（a-1）x+a-1]，若函數(shù)y=H（x）有5個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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