關于函數(shù)f（x）=cos2x-2
3
sinxcosx，下列命題：
①若x1，x2滿足x1-x2=π，則f（x1）=f（x2）成立；
②f（x）在區(qū)間[-
π
6
，
π
3
]上單調遞增；
③函數(shù)f（x）的圖象關于點（
π
12
，0）成中心對稱；
④將函數(shù)f（x）的圖象向左平移
7π
12
個單位后將與y=2sin2x的圖象重合．
其中正確的命題序號
 
（注：把你認為正確的序號都填上）
考點：命題的真假判斷與應用,正弦函數(shù)的單調性,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換
專題：三角函數(shù)的圖像與性質
分析：利用三角恒等變換可得f（x）=2cos（2x+
π
3
），
對于①，若x1，x2滿足x1-x2=π，則f（x1）=2cos[2（x2+π）+
π
3
]=2cos（2x2+
π
3
）=f（x2）成立，可判斷①；
②由π≤2x+
π
3
≤2π，得：
π
3
≤x≤
5π
6
，即f（x）在區(qū)間[
π
3
，
5π
6
]上單調遞增，從而可判斷②；
③易求f（
π
12
）=0，函數(shù)f（x）的圖象關于點（
π
12
，0）成中心對稱，從而可判斷③；
④將函數(shù)f（x）的圖象向左平移
7π
12
個單位后得到y(tǒng)=f（x+
7π
12
）=2sin2x，可判斷④．
解答： 解：f（x）=cos2x-2
3
sinxcosx=cos2x-
3
sin2x=2（
1
2
cos2x-
3
2
sin2x）=2cos（2x+
π
3
），
①若x1，x2滿足x1-x2=π，則f（x1）=2cos[2（x2+π）+
π
3
]=2cos（2x2+
π
3
）=f（x2）成立，故①正確；
②由π≤2x+
π
3
≤2π，得：
π
3
≤x≤
5π
6
，即f（x）在區(qū)間[
π
3
，
5π
6
]上單調遞增，故②錯誤；
③因為f（
π
12
）=2cos（2×
π
12
+
π
3
）=0，所以函數(shù)f（x）的圖象關于點（
π
12
，0）成中心對稱，故③正確；
④將函數(shù)f（x）的圖象向左平移
7π
12
個單位后得到y(tǒng)=f（x+
7π
12
）=2cos[2（x+
7π
12
）+
π
3
]=2cos（2x+
3π
2
）=2sin2x，其圖象與y=2sin2x的圖象重合，故④正確．
綜上所述，正確的命題序號①③④，
故答案為：①③④．
點評：本題考查命題的真假判斷與應用，綜合考查正弦函數(shù)的單調性、對稱性及函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ADC=60°，AD=AM=1，PC=2，M為PD的中點．
（1）證明PB∥平面ACM；
（2）求直線AM與直線PC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=x2在x=1處和x=-1處的導數(shù)之間的關系是（　�。�
A、f′（1）=f′（-1）
B、f′（1）+f′（-1）=0
C、f′（1）＜f′（-1）
D、以上都不對

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列1×
1
2
，2×
1
4
，3×
1
8
，4×
1
16
，…
（1）求數(shù)列的通項公式．
（2）求此數(shù)列的前n項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

平面向量
a
=（
3
，-1），
b
=（
1
2
，
3
2
），若存在不同時為0的實數(shù)k和t，使
x
=
a
+（t2-3）
b
，
y
=-k
a
+t
b
，且
x
⊥
y
，試求函數(shù)關系式k=f（t）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知m∈R，并且
1+mi
2-i
的實部和虛部相等，則m的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x∈R|y=
1-x
}，B={y∈R|y=
x-1
}，則A∩B=（　�。�
A、∅B、{1}
C、[0，1]D、{（1，0）}

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域是[-1，1]，求f（log2x）的定義域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，點P是∠AOB平分線上一點，PC⊥OA，垂足為C，OB與以P為圓心、PC為半徑的圓相切嗎？為什么？

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同步練習冊答案