Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=cos2x-2

3

sinxcosx，下列命題：
①若x₁，x₂滿足x₁-x₂=π，則f（x₁）=f（x₂）成立；
②f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上單調(diào)遞增；
③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

12

，0）成中心對稱；
④將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

7π

12

個(gè)單位后將與y=2sin2x的圖象重合．
其中正確的命題序號

 

（注：把你認(rèn)為正確的序號都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,正弦函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用三角恒等變換可得f（x）=2cos（2x+

π

3

），
對于①，若x₁，x₂滿足x₁-x₂=π，則f（x₁）=2cos[2（x₂+π）+

π

3

]=2cos（2x₂+

π

3

）=f（x₂）成立，可判斷①；
②由π≤2x+

π

3

≤2π，得：

π

3

≤x≤

5π

6

，即f（x）在區(qū)間[

π

3

，

5π

6

]上單調(diào)遞增，從而可判斷②；
③易求f（

π

12

）=0，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

12

，0）成中心對稱，從而可判斷③；
④將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

7π

12

個(gè)單位后得到y(tǒng)=f（x+

7π

12

）=2sin2x，可判斷④．

解答： 解：f（x）=cos2x-2

3

sinxcosx=cos2x-

3

sin2x=2（

1

2

cos2x-

3

2

sin2x）=2cos（2x+

π

3

），
①若x₁，x₂滿足x₁-x₂=π，則f（x₁）=2cos[2（x₂+π）+

π

3

]=2cos（2x₂+

π

3

）=f（x₂）成立，故①正確；
②由π≤2x+

π

3

≤2π，得：

π

3

≤x≤

5π

6

，即f（x）在區(qū)間[

π

3

，

5π

6

]上單調(diào)遞增，故②錯(cuò)誤；
③因?yàn)閒（

π

12

）=2cos（2×

π

12

+

π

3

）=0，所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

12

，0）成中心對稱，故③正確；
④將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

7π

12

個(gè)單位后得到y(tǒng)=f（x+

7π

12

）=2cos[2（x+

7π

12

）+

π

3

]=2cos（2x+

3π

2

）=2sin2x，其圖象與y=2sin2x的圖象重合，故④正確．
綜上所述，正確的命題序號①③④，
故答案為：①③④．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性及函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于中檔題．