Question

1．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（其中t為參數(shù)），以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（4cosθ+3sinθ）-m=0（其中m為常數(shù)）．
（1）若直線l與曲線C恰好有一個公共點，求實數(shù)m的值；
（2）若m=4，求直線l被曲線C截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）將直線的極坐標(biāo)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的值即可；
（2）將直線的極坐標(biāo)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，代入拋物線方程，即可求弦長．

解答 解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程可化為直線坐標(biāo)方程：4x+3y-m=0，
曲線C的參數(shù)方程可化為普通方程：y²=4x，
由$\left\{\begin{array}{l}{4x+3y-m=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，可得y²+3y-m=0，
因為直線l和曲線C恰好有一個公共點，
所以△=9+4m=0，所以$m=-\frac{9}{4}$；
（2）當(dāng)m=4時，直線l：4x+3y-4=0恰好過拋物線的焦點F（1，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{4x+3y-4=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，可得4x²-17x+4=0，
設(shè)直線l與拋物線C的兩個交點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=\frac{17}{4}$，
故直線l被拋物線C所截得的弦長為$\left|{AB}\right|={x_1}+{x_2}+2=\frac{17}{4}+2=\frac{25}{4}$．

點評 本題考查參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查參數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．