Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-b|x|+c，g（x）=kx+c-2（k＞0），函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），若f（-4）=f（0），f（-2）=-2，則當(dāng)函數(shù)h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2時(shí)，k的取值范圍為（　�。�

• A． $（2\sqrt{2}，+∞）$
• B． $（4-2\sqrt{2}，+∞）$
• C． （4，+∞）
• D． $（4+2\sqrt{2}，+∞）$

Answer 1

分析 求得x≤0時(shí)，由f（-4）=f（0），f（-2）=-2可得b，c的方程，解方程可得b，c，由題意可得g（x）=kx與f（x）=x²-4|x|+2的右支恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求出直線y=kx與左支相切的情況，結(jié)合圖象，即可得到k的范圍．

解答 解：當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x²+bx+c，
因?yàn)閒（-4）=f（0），f（-2）=-2，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{{{（-4）}^2}+b×（-4）+c=c}\\{{{（-2）}^2}+b×（-2）+c=-2}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=2}\end{array}}\right.$，所以f（x）=x²-4|x|+2，g（x）=kx，
又k＞0，函數(shù)h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，
所以g（x）=kx與f（x）=x²-4|x|+2的右支恰有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)與左支相切時(shí)，有3個(gè)公共點(diǎn)，與左支相切時(shí)，
由x²+4x+2=kx，變形得x²+（4-k）x+2=0，
由△=（4-k）²-8=0，得$k=4±2\sqrt{2}$，
又與左支相切，所以$k=4-2\sqrt{2}$，
結(jié)合圖象，得k的取值范圍為$k＞4-2\sqrt{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．