Question

函數(shù)f（x）的定義域為A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數(shù)．例如，函數(shù)f（x）=2x+1（x∈R）是單函數(shù)．下列命題：
①函數(shù)f（x）=x²（x∈R）是單函數(shù)；
②若f（x）是單函數(shù)，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
③若f：A→B為單函數(shù)，則對于任意b∈B，它至多有一個原象；
④函數(shù)f（x）在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù)．
其中的真命題是

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用單函數(shù)的定義當f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，分別對四個命題進行判斷，可以得出正確結(jié)論．

解答： 解：①對于函數(shù)f（x）=x²，由f（x₁）=f（x₂）得x₁²=x₂²，即x₁=-x₂或x₁=x₂，所以①不是單函數(shù)，①錯誤；
②對于f（x）為單函數(shù)，則f（x₁）=f（x₂）時，有x₁=x₂，逆否命題是x₁≠x₂時，有f（x₁）≠f（x₂），所以②是正確的；
③∵函數(shù)f（x）是單函數(shù)，對于任意b∈B，若存x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）=b，則x₁=x₂，與x₁≠x₂矛盾，所以③正確；
④函數(shù)f（x）=x²在（0，+∞）是增函數(shù)，而它不是單函數(shù)，故④不正確．
故答案為：②③

點評：本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，利用單函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．