Question

已知直線l₁：x-2y-1=0，直線l₂：ax-by+1=0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}．
（1）求直線l₁∥l₂的概率；
（2）求直線l₁與l₂的交點(diǎn)位于第一象限的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)是36，滿足條件的事件是直線直線l₁∥l₂根據(jù)兩條直線沒有交點(diǎn)，得到兩條直線的斜率之間的關(guān)系，得到關(guān)于a，b的關(guān)系式，寫出滿足條件的事件數(shù)，得到結(jié)果．
（2）本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)是36，滿足條件的事件是兩條直線的交點(diǎn)在第一象限，寫出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)在第一象限寫出不等式組，解出結(jié)果，根據(jù)a，b之間的關(guān)系寫出滿足條件的事件數(shù)，得到結(jié)果．

解答： 解：（1）由題知，直線l₁的斜率為k₁=

1

2

，直線l₂的概率為k₂=

a

b

．
若l₁∥l₂，即k₁=k₂，則有b=2a．
記事件A為“直線l₁∩l₂=∅”．
a，b∈{1，2，3，4，5，6}的總事件數(shù)36種．滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）有3種情形．
所以P（A）=

3

36

=

1

12

．即直線l₁∥l₂的概率為

1

12

．…6分
（2）設(shè)事件B為“直線l₁與l₂的交點(diǎn)位于第一象限”，由于直線l₁與l₂有交點(diǎn)，所以b≠2a．
聯(lián)立方程

ax-by+1=0 x-2y-1=0

，解得

x= b+2 b-2a y= a+1 b-2a

，
因?yàn)橹本�l₁與l₂的交點(diǎn)位于第一象限，所以

x＞0 y＞0

，即

b+2 b-2a ＞0 a+1 b-2a ＞0

，解得b＞2a．
∵a，b∈{1，2，3，4，5，6}，∴基本事件總數(shù)共有36種．滿足b＞2a的有6種，
∴P=

6

36

=

1

6

，即直線l₁與l₂交點(diǎn)在第一象限的概率為

1

6

．…6分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率，考查兩條直線的平行關(guān)系，考查兩條直線的交點(diǎn)在第一象限的特點(diǎn)，本題是一個(gè)綜合題，在解題時(shí)注意解析幾何知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用．