18、已知函數(shù)f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0），函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）用關于m的代數(shù)式表示n．
（2）求函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間．
分析：（1）先對函數(shù)f（x）進行求導，又根據(jù)f'（2）=0可得到關于m的代數(shù)式．
（2）將（1）中m的代數(shù)式n代入函數(shù)f（x）中消去n，可得f'（x）=3mx2-6mx，當f'（x）＞0時x的取值區(qū)間為所求．
解答：解：（Ⅰ）由已知條件得f'（x）=3mx2+2nx，
又f'（2）=0，∴3m+n=0，故n=-3m．
（Ⅱ）∵n=-3m，∴f（x）=mx3-3mx2，∴f'（x）=3mx2-6mx．
令f'（x）＞0，即3mx2-6mx＞0，
當m＞0時，解得x＜0或x＞2，則函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間是（-∞，0）和（2，+∞）；
當m＜0時，解得0＜x＜2，則函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間是（0，2）．
綜上，當m＞0時，函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間是（-∞，0）和（2，+∞）；
當m＜0時，函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間是（0，2）．
點評：本題主要考查通過求函數(shù)的導數(shù)來求函數(shù)增減區(qū)間的問題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=m•2x+t的圖象經過點A（1，1）、B（2，3）及C（n，Sn），Sn為數(shù)列{an}的前n項和，n∈N*．
（1）求Sn及an；
（2）若數(shù)列{cn}滿足cn=6nan-n，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=m（x+
1
x
）的圖象與h（x）=（x+
1
x
）+2的圖象關于點A（0，1）對稱．
（1）求m的值；
（2）若g（x）=f（x）+
a
4x
在（0，2]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
m
•
n
，其中
m
=(sinωx+cosωx，
3
cosωx)，
n
=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若f（x）相鄰兩對稱軸間的距離不小于
π
2
．
（Ⅰ）求ω的取值范圍；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，a=
3
，b+c=3，當ω最大時，f（A）=1，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

以下兩題任選一題：（若兩題都作，按第一題評分）
（一）：在極坐標系中，圓ρ=2cosθ的圓心到直線θ=
π
3
（ρ∈R）的距離
3
2
3
2
；
（二）：已知函數(shù)f（x）=m-|x-2|，m∈R，當不等式f（x+2）≥0的解集為[-2，2]時，實數(shù)m的值為
2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集為[-1，1]．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c∈R+，且
1
a
+
1
2b
+
1
3c
=m，求Z=a+2b+3c的最小值．

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