Question

的內(nèi)切圓與三邊的切點(diǎn)分別為,已知，內(nèi)切圓圓心,設(shè)點(diǎn)A的軌跡為R.

（1）求R的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線(xiàn)m交曲線(xiàn)R于不同的兩點(diǎn)M,N，問(wèn)在x軸上是否存在一定點(diǎn)Q（Q不與C重合），使恒成立，若求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

(1) ；(2)存在

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得，AB-AC=2.根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可得點(diǎn)A的軌跡是雙曲線(xiàn)的一支，即可得到軌跡方程.

(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719123307399007/SYS201411171912442775243084_DA/SYS201411171912442775243084_DA.003.png">恒成立，通過(guò)化簡(jiǎn)可得等價(jià)結(jié)論，QC為∠MQN的角平分線(xiàn).由直線(xiàn)MN垂直于x軸，顯然存在點(diǎn)Q.當(dāng)MN不垂直x軸時(shí)，依題意所求的結(jié)論等價(jià)轉(zhuǎn)化于，通過(guò)聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理，即可求得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo).

試題解析：（1）設(shè)點(diǎn)，由題知|AB|-|AC|=|BE|-|CE|=|CE|+2|OE|-|CE|=2

根據(jù)雙曲線(xiàn)定義知，點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線(xiàn)的右支除去點(diǎn)E（1，0），故R的方程為

（2）設(shè)點(diǎn)由（I）可知

①當(dāng)直線(xiàn)軸時(shí)

點(diǎn)在軸上任何一點(diǎn)處都能使得成立

②當(dāng)直線(xiàn)MN不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)

由得

要使，只需成立即即

即 故,故所求的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為時(shí)

使成立.

考點(diǎn)：1.圓的切線(xiàn)長(zhǎng)定理.2.雙曲線(xiàn)的性質(zhì).3.消元，韋達(dá)定理，運(yùn)算能力等.4.等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.