Question

3．若直線x+my-1=0與圓C：x²+y²+mx+ny+4p=0交A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則實(shí)數(shù)p的取值范圍為（-∞，0）．

Answer 1

分析 根據(jù)圓的性質(zhì)，得直線x+my-1=0與直線y=x垂直且圓心C，在直線y=x上，由此解出m、n，從而得到直線和圓的方程，再由圓心C到直線的距離小于半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可算出實(shí)數(shù)p的取值范圍．

解答 解：根據(jù)題意，由于直線x+my-1=與圓C：x²+y²+mx+ny+4p=O交于 A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
則可知直線AB的斜率為-1，故可知m=1，
∴圓心C（-$\frac{m}{2}$，-$\frac{n}{2}$）在直線y=x上，可得m=n=1．
并且AB中點(diǎn)坐標(biāo)在y=x上，聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}y=x\\ x+y-1=0\end{array}\right.$，得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=$\frac{1}{2}$，則y=$\frac{1}{2}$，
則該點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）在圓內(nèi)部，圓C：x²+y²+x+y+4p=0，圓心C（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），半徑R=$\sqrt{1+1-16p}$=$\sqrt{2-16p}$，
∵直線x+y-1=0與圓C相交，
∴$\frac{|-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-1|}{\sqrt{2}}＜\sqrt{2-16p}$，解之得p＜0，
則實(shí)數(shù)P的取值范圍為（-∞，0）．
故答案為：（-∞，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，垂徑定理，勾股定理，以及點(diǎn)到直線的距離公式，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而由弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．