Question

設(shè)f（x）=x²+ax+bcosx，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅，則滿(mǎn)足條件的所有實(shí)數(shù)a，b的值分別為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：集合關(guān)系中的參數(shù)取值問(wèn)題,集合的相等

專(zhuān)題：規(guī)律型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知中f（x）=x²+ax，我們分a=0時(shí)和a≠0時(shí)，對(duì){{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅進(jìn)行討論，最后綜合討論結(jié)果，即可得到答案．

解答： 解：∵f（x）=x²+ax，
∴f（f（x））=f（x）²+af（x）=（x²+ax）²+a•（x²+ax）=x⁴+2ax³+（a²+a）x²+a²x
當(dāng)a=0時(shí)，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}={0}≠∅
當(dāng)a≠0時(shí)，{x|f（x）=0，x∈R}={0，-a}．
若{x|f（f（x））=0，x∈R}={0，-a}，
則f（f（-a））=0且除0，-a外f（f（x））=0無(wú)實(shí)根，
即x²+ax+a=0無(wú)實(shí)根
即a²-4a＜0，即0＜a＜4
綜上滿(mǎn)足條件的所有實(shí)數(shù)a的取值范圍為0≤a＜4
故答案為：0≤a＜4，b=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合關(guān)系中的參數(shù)取值問(wèn)題，其中注意兩個(gè)集合相等的定義，即當(dāng)a≠0時(shí)，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅的等價(jià)條件為x²+ax+a=0無(wú)實(shí)根．