A. | $\frac{1}{5}$ | B. | $\frac{2}{5}$ | C. | $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$ | D. | $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$ |
分析 線段AC1的三個(gè)視圖所在的直線分別為AC,DC1,AD1,以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出線段AC1的三個(gè)視圖所在的直線所成的最小角的余弦值.
解答 解:如圖,線段AC1的三個(gè)視圖所在的直線分別為AC,DC1,AD1,
以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),D(0,0,0),C1(0,2,1),
$\overrightarrow{AC}$=(-2,2,0),$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=(0,2,1),$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=(-2,0,1),
設(shè)直線AC與DC1所成角為α,AC與AD1所成角為β,DC1與AD1所成角為γ,
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{D{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{D{C}_{1}}|}$=$\frac{4}{\sqrt{8}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$,
cosβ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{A{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{A{D}_{1}}|}$=$\frac{4}{\sqrt{8}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$,
cosγ=$\frac{|\overrightarrow{D{C}_{1}}•\overrightarrow{A{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{D{C}_{1}}|•|\overrightarrow{A{D}_{1}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{1}{5}$.
∴線段AC1的三個(gè)視圖所在的直線所成的最小角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$.
故選:D.
點(diǎn)評(píng) 本題考查長(zhǎng)方體中線段的三個(gè)視圖所在的直線所成的最小角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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A. | 2 | B. | 1 | C. | 3 | D. | $\frac{1}{2}$ |
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