Question

7．如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=BC=2，AA₁=1，線段AC₁的三個(gè)視圖所在的直線所成的最小角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$

Answer 1

分析 線段AC₁的三個(gè)視圖所在的直線分別為AC，DC₁，AD₁，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段AC₁的三個(gè)視圖所在的直線所成的最小角的余弦值．

解答 解：如圖，線段AC₁的三個(gè)視圖所在的直線分別為AC，DC₁，AD₁，
以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（2，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，1），D（0，0，0），C₁（0，2，1），
$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，2，1），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-2，0，1），
設(shè)直線AC與DC₁所成角為α，AC與AD₁所成角為β，DC₁與AD₁所成角為γ，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{D{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{D{C}_{1}}|}$=$\frac{4}{\sqrt{8}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
cosβ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{A{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{A{D}_{1}}|}$=$\frac{4}{\sqrt{8}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
cosγ=$\frac{|\overrightarrow{D{C}_{1}}•\overrightarrow{A{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{D{C}_{1}}|•|\overrightarrow{A{D}_{1}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{1}{5}$．
∴線段AC₁的三個(gè)視圖所在的直線所成的最小角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查長(zhǎng)方體中線段的三個(gè)視圖所在的直線所成的最小角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．