Question

17．已知z為復(fù)數(shù)，z+3+2i和$\frac{z}{1-2i}$均為實(shí)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位．
（Ⅰ）求復(fù)數(shù)z；
（Ⅱ）若復(fù)數(shù)（z-mi）²在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先設(shè)出復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R），又已知z+3+2i和$\frac{z}{1-2i}$均為實(shí)數(shù)，求出b的值，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)$\frac{z}{1-2i}$，即可得到a的值，則復(fù)數(shù)z可求；
（Ⅱ）把z的值代入（z-mi）²然后化簡(jiǎn)，又已知復(fù)數(shù)（z-mi）²在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，列出不等式組，求解即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R），
由題意，z+3+2i=（a+3）+（b+2）i∈R，
∴b+2=0，即b=-2．
又$\frac{z}{1-2i}=\frac{（a+bi）（1+2i）}{5}=\frac{a-2b+（2a+b）i}{5}∈R$，
∴2a+b=0，即$a=-\frac{1}{2}b=1$．
∴z=1-2i；
（Ⅱ）（z-mi）²=[1-（m+2）i]²=1-（m+2）²-2（m+2）i，
∵復(fù)數(shù)（z-mi）²在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{1-{{（m+2）}^2}＜0}\\{-2（m+2）＞0}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{m＜-3或m＞-1}\\{m＜-2}\end{array}}\right.$，
∴m＜-3．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為m＜-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是中檔題．