Question

已知中心在原點，焦點在x軸上，離心率為的橢圓過點（，）
（1）求橢圓方程；
（2）設不過原點O的直線l：y=kx+m（k≠0），與該橢圓交于P、Q兩點，直線OP、OQ的斜率依次為k₁、k₂，滿足4k=k₁+k₂
①求證：m²為定值，并求出此定值；
②求△OPQ面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設條件，設c=，a=2k，則b=k，橢圓方程為，把點（，）代入，得k²=1，由此能求出橢圓方程．
（2）①由，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，．直線OP，OQ的斜率依次為k₁，k₂，，由此解得．
②，令，得，由此能求出△OPQ面積的取值范圍．
解答：解：（1）由題設條件，設c=，a=2k，則b=k，
∴橢圓方程為，
把點（，）代入，得k²=1，
∴橢圓方程為．
（2）①由，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
∴．
∵直線OP，OQ的斜率依次為k₁，k₂，
∴，
∴2kx₁x₂=m（x₁+x₂），由此解得，驗證△＞0成立．
②，令，
得，
∴S_△OPQ∈（0，1）．
點評：本題考查橢圓的方程和求法和直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運用，解題時要注意橢圓性質(zhì)的靈活運用．