Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓過(guò)M（1，

4 2

3

），N（-

3 2

2

，

2

）兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓上是否存在點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)A（a，0）（其中0＜a＜3）的距離的最小值為1，若存在，求出a的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)給予證明．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，且m≠n），由橢圓過(guò)M，N兩點(diǎn)得

m+ 32 9 n=1 9 2 m+2n=1

，求出m，n后就得到橢圓的方程．
（2）設(shè)存在點(diǎn)P（x，y）滿足題設(shè)條件，由

x2

9

+

y2

4

=1，得y²=4（1-

x2

9

），結(jié)合題設(shè)條件能夠推導(dǎo)出|AP|²=

5

9

（x-

9

5

a）²+4-

4

5

a²（|x|≤3），由此可以求出a的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，且m≠n）
∵橢圓過(guò)M，N兩點(diǎn)
∴

m+ 32 9 n=1 9 2 m+2n=1

?

m= 1 9 n= 1 4

，即橢圓方程為

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）設(shè)存在點(diǎn)P（x，y）滿足題設(shè)條件，由

x2

9

+

y2

4

=1，得y²=4（1-

x2

9

）
∴|AP|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+4（1-

x2

9

）=

5

9

（x-

9

5

a）²+4-

4

5

a²（|x|≤3），
當(dāng)|

9a

5

|≤3即0＜a≤

5

3

時(shí)，|AP|²的最小值為4-

4

5

a²
∴4-

4

5

a²=1?a=±

15

2

∉（0，

5

3

]
∴

9

5

a＞3即

5

3

＜a＜3，此時(shí)當(dāng)x=3時(shí)，|AP|²的最小值為（3-a）²
∴（3-a）²=1，即a=2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，0）
故當(dāng)a=2時(shí)，存在這樣的點(diǎn)P滿足條件，P點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查橢圓的直線的位置關(guān)系，在解題時(shí)要注意培養(yǎng)計(jì)算能力和靈活運(yùn)用公式的能力．