Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，M為橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)，N為橢圓上的點(diǎn)|NF₁|_max=2$\sqrt{2}$+2，△MF₁F₂為等腰直角三角形．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對角線AC，BD過原點(diǎn)O，若k_AC•k_BD=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．
①求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最值；
②求證：四邊形ABCD的面積為定值．

Answer 1

分析 （1）由|NF₁|_max=2$\sqrt{2}$+2，△MF₁F₂為等腰直角三角形，列出方程組，求出a=2$\sqrt{2}$，b=c=2，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）①設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件能求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最值．
②設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，先由弦長公式求出三角形AOB的面積，再由四邊形ABCD的面積S_{四邊形ABCD}=4S_△AOB，能證明四邊形ABCD的面積為定值．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，
M為橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)，N為橢圓上的點(diǎn)|NF₁|_max=2$\sqrt{2}$+2，△MF₁F₂為等腰直角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+c=2\sqrt{2}+2}\\{b=c}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=c=2，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
證明：（2）①設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，①
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
∵k_OA•k_OB=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴y₁y₂=-$\frac{1}{2}{x}_{1}{x}_{2}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
${y}_{1}{y}_{2}=（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}$+km（x₁+x₂）+m²
=${k}^{2}•\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$+km•$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$+m²=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴-$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，∴-（m²-4）=m²-8k²，
∴4k²+2=m²，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$
=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$
=$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{4{k}^{2}+2-4}{1+2{k}^{2}}$=2-$\frac{4}{1+2{k}^{2}}$，
∴-2=2-4≤$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＜2．
當(dāng)k=0（此時(shí)m²=2，滿足①式），即直線AB平行于x軸時(shí)，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最小值為-2．
又直線AB的斜率不存在時(shí)$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=2，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最大值為2．
證明：②設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，
則${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}|AB|•d$=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{k}^{2}}•|{x}_{2}-{x}_{1}|$•$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{|m|}{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{|m|}{2}\sqrt{（\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}}$
=$\frac{|m|}{2}\sqrt{\frac{64{k}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{16（{m}^{2}-4）}{{m}^{2}}}$
=2$\sqrt{4{k}^{2}-{m}^{2}+4}$=2$\sqrt{2}$，
∴四邊形ABCD的面積S_{四邊形ABCD}=4S_△AOB=8$\sqrt{2}$．
即四邊形ABCD的面積為定值 8$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查向量的數(shù)量積的最值的求法，考查四邊形面積為定值的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積、弦長公式的合理運(yùn)用．