Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

x2+1

-ax(a＞0)，
（I）求證：當(dāng)且僅當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在[0，+∞）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)；
（II）求a的取值范圍，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（I）先求函數(shù)f(x)=

x2+1

-ax(a＞0)的導(dǎo)數(shù)f′（x），再證明a≥1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)；而a＜1時(shí)，f′（x）先負(fù)后正，f（x）不單調(diào)
（II）由（1）知a≥1時(shí)f（x）單調(diào)遞減，不合題意，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，需[1，+∞）是函數(shù)單調(diào)增區(qū)間的子區(qū)間，可求a的范圍

解答：解：（I）∵f′(x)=

x

x2+1

-a，
①當(dāng)a≥1時(shí)，∵

x

x2+1

≤

|x|

x2+1

＜1≤a，∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f′（x）＜0，得0≤x＜a

x2+1

⇒0≤x＜

a

1-a2

；
由f′（x）＞0得x＞a

x2+1

⇒x＞

a

1-a2

；
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在[0，

a

1-a2

)為減函數(shù)，而在(

a

1-a2

，+∞)，為增函數(shù)，
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在[0，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)；
綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在[0，+∞）上為單調(diào)函數(shù)．
（II）由（I）①知當(dāng)a≥1時(shí)f（x）單調(diào)遞減，不合；  由②知當(dāng)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增等價(jià)于：

a

1-a2

≤1，∴0＜a≤

2

2

，即a的取值范圍是(0，

2

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性上的應(yīng)用，解題時(shí)要學(xué)會(huì)對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，做到不重不漏，還要注意一題中兩問(wèn)間的關(guān)系