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【題目】已知函數

(1)令,判斷g(x)的單調性;

(2)當x>1時,,求a的取值范圍

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

(1)求出,分兩種情況討論的范圍,在定義域內,分別令求得的范圍,可得函數增區(qū)間,求得的范圍,可得函數的減區(qū)間;(2)討論的范圍,分別利用導數以及函數的單調性,結合單調性判斷函數是否有最大值,當函數有最大值時,令其最大值小于零即可求得的范圍.

(1)由,則,

所以x>0).

a0時,,的減函數;

a>0時,

,即時,,的減函數;

,即時,由有兩根

,為減函數;,為增函數

,為減函數

綜上:當時,的減函數;

時,在,為減函數;為增函數;,為減函數

(2)由(1)知,對a討論如下,

a0時,,則為(1,+)上的減函數,

,為(1,+)的減函數,

由于,所以,即a0時滿足題意

a>0時,由于,對其討論如下

(A)若,即a1,則由(1)知,為(1,+)上的減函數,

,所以為(1,+)的減函數,

由于,所以,即0<a1時滿足題意

(B)若,即a>1,則由(1)知,

時,為(1,+)上的減函數,又

所以存在,使得在時,,于是的增函數,

因為,

所以,即1<a時不滿足題意

時,由于,所以對與1的大小關系討論如下,

1)如果,即,那么由(1)知,為(1,+)上的減函數,

,

則存在,使得在時,,于是的增函數,

,,即時不滿足題意

2)如果,即,那么由(1)知,為(1,)上的增函數,

則當時,,于是的增函數,

,,即時不滿足題意

綜上所述,a的取值范圍為

練習冊系列答案
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