Question

2．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，P為雙曲線右支上的一點，△POF₁為等腰三角形，過點P作y軸的垂線，延長后交雙曲線的左支于點Q，若$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$，則雙曲線離心率為$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，作出雙曲線的圖象，設(shè)|F₁F₂|=2c，則|F₁O|=|F₂O|=c，結(jié)合題意分析可得?QF₁OP為菱形，且△POQ為等邊三角形，進而分析可得∠OPQ=60°，∠PF₁F₂=30°，即可得|PF₁|=$\sqrt{3}$c，由雙曲線的定義可得2a=|PF₁|-|PF₂|=（$\sqrt{3}$-1）c，由雙曲線的離心率公式計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，作出雙曲線的圖象，設(shè)|F₁F₂|=2c，
則|F₁O|=|F₂O|=c，
若$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$，則有PQ∥F₁F₂，且|PQ|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|=|F₁O|，
四邊形QF₁OP為平行四邊形，
又由△POF₁為等腰三角形，則有|OP|=|F₁O|，
故?QF₁OP為菱形，則有|PO|=|PQ|=|F₁O|=|F₁Q|，
又由|PO|=|OQ|，則有△POQ為等邊三角形，
即∠OPQ=60°，∠PF₁F₂=30°，
又由∠PF₂O=60°，且|PF₂|=|QF₁|=c，
又由|F₁F₂|=2c，則|PF₁|=$\sqrt{3}$c，
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1中：2a=|PF₁|-|PF₂|=（$\sqrt{3}$-1）c，
則雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1；
故答案為：$\sqrt{3}$+1．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意借助雙曲線的對稱性分析PO、OQ和F₁Q、F₂P的關(guān)系．