Question

20．已知兩條直線l₁：y=3，l₂：y=$\frac{2}{m-1}$（2≤m≤6），l₁與函數(shù)y=|log₂x|的圖象從左到右交于A，B兩點(diǎn)，l₂與函數(shù)y=|log₂x|的圖象從左到右交于C，D兩點(diǎn)，若a=|$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$|，b=|$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|}$|，當(dāng)m變化時(shí)，$\frac{a}$的范圍是（　�。�

• A． （2${\;}^{\frac{2}{5}}$，4）
• B． [2${\;}^{\frac{2}{5}}$，4]
• C． [2${\;}^{\frac{17}{5}}$，32]
• D． （2${\;}^{\frac{17}{5}}$，32）

Answer 1

分析 作出圖形，設(shè)$\frac{2}{m-1}$=t，根據(jù)平面向量投影的定義得出a，b關(guān)于t的函數(shù)，從而得出結(jié)論．

解答 解：令|log₂x|=3，解得x₁=$\frac{1}{8}$，x₂=8，即A（$\frac{1}{8}$，3），B（8，3），
設(shè)$\frac{2}{m-1}$=t，則$\frac{2}{5}≤t≤2$，令|log₂x|=t，解得x₁=2^-t，x₂=2^t，∴C（2^-t，t），D（2^t，t），
∵$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}$表示$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{AB}$上的投影，$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|}$表示$\overrightarrow{BD}$在$\overrightarrow{CD}$上的投影，
∴a=|$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}$|=2^-t-$\frac{1}{8}$，b=|$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|}$|=|2^t-8|=8-2^t，
∴$\frac{a}$=$\frac{8-{2}^{t}}{{2}^{-t}-\frac{1}{8}}$=2^t+3．
∵$\frac{2}{5}≤t≤2$，
∴2${\;}^{\frac{17}{5}}$≤2^t+3≤32．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量在幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．