Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

1

2

對稱，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2009）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先由圖象直線x=

1

2

對稱得f（1-x）=f（x），再與奇函數(shù)條件結(jié)合起來，有f（x+2）=f（x），得f（x）是以2為周期的周期函數(shù)再求解．

解答： 解；∵圖象直線x=

1

2

對稱，
∴f（1-x）=f（x）
∵f（x）是奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）
∴f（1-x）=-f（x-1）
∴f（x）=-f（x-1）
∴f（x+1）=-f（x）
∴f（x+1）=f（x-1）
∴f（x+2）=f（x）
∴f（x）的周期為2，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∵y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

1

2

對稱，
∴f（1）=f（0）=0
∵f（x）的周期為2，
∴f（2）=f（0）=0
∴f（3）=f（1）=0
…
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2009）=0
故答案為：0

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性對稱性及周期性的相互轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．