Question

11．已知函數(shù)f（x）=2sinx（sinx+cosx）．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）求函數(shù)在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]上，求出內層函數(shù)的取值范圍，結合三角函數(shù)的圖象和性質，求出f（x）的取值最大和最小值，

解答 解：函數(shù)f（x）=2sinx（sinx+cosx）．
化簡得：f（x）=2sin²x+2sinxcosx
=1-cos2x+sin2x
=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1
（1）函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]上時，則2x-$\frac{π}{4}$∈[$-\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]
當x=$-\frac{π}{4}$時，函數(shù)f（x）取得最小值，即f（x）_min=0
當x=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值，即$f（x）_{max}=\sqrt{2}+1$
所以函數(shù)在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值分別為$\sqrt{2}+1$，0．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡能力和圖象及性質的運用能力．屬于基礎題．