Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a₃=3，且對(duì)n∈N⁺，a_n•a_n+1•a_n+2•a_n+3=24，則其前2013項(xiàng)和S₂₀₁₃=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知，a_n•a_n+1•a_n+2•a_n+3=24，以n+1代n，得出a_n+1•a_n+2•a_n+3•a_n+4=24，兩式相除可推斷出a_n+4=a_n，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是以4為周期的數(shù)列，只要看2013是4的多少倍，然后a₁=1，a₂=2，a₃=3，求出a₄，而2013是4的503倍余1，故可知S₂₀₁₃=503×（1+2+3+4）+1答案可得．

解答： 解：依題意可知，a_n•a_n+1•a_n+2•a_n+3=24，以n+1代n，得出a_n+1•a_n+2•a_n+3•a_n+4=24，
兩式相除可推斷出a_n+4=a_n，
∴數(shù)列{a_n}是以4為周期的數(shù)列，
求得a₄=4．
∴S₂₀₁₃=503×（1+2+3+4）+1=5031
故答案為：5031．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推式和數(shù)列的求和問(wèn)題．本題的關(guān)鍵是找出數(shù)列的周期性，是中檔題．