Question

已知關(guān)于x的方程x²-kx+k+1=0的兩根為sinα、cosα，
（1）求k的值；
（2）求

1+sinα+cosα+2sinαcosα

1-sinα-cosα

的值；
（3）求函數(shù)y=x²+kx-

k

4

的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由條件可得sinα+cosα=k，sinα•cosα=k+1．再根據(jù)sin²α+cos²α=1，求得k的值，檢驗(yàn)是否滿足△≥0，從而求得k的值．
（2）由（1）可得sinα+cosα=-1，sinα•cosα=0，代入 

1+sinα+cosα+2sinαcosα

1-sinα-cosα

 運(yùn)算，求得結(jié)果．
（3）根據(jù)函數(shù)y=x²+kx-

k

4

=(x-

1

2

)2，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）∵關(guān)于x的方程x²-kx+k+1=0的兩根為sinα、cosα，
∴sinα+cosα=k，sinα•cosα=k+1．
再根據(jù)sin²α+cos²α=1，求得k=-1 或k=3．
經(jīng)過檢驗(yàn)，只有k=-1滿足△≥0，故要求的k值為-1．
（2）由（1）可得sinα+cosα=-1，sinα•cosα=0，
∴

1+sinα+cosα+2sinαcosα

1-sinα-cosα

=

1+(-1)+0

1-(-1)

=0．
（3）∵函數(shù)y=x²+kx-

k

4

=x²-x+

1

4

=(x-

1

2

)2≥0，
故函數(shù)的值域?yàn)閇0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．