【題目】設(shè)數(shù)列的前項和為,若,則稱是“數(shù)列”.
(1)若是“數(shù)列”,且,,,,求的取值范圍;
(2)若是等差數(shù)列,首項為,公差為,且,判斷是否為“數(shù)列”;
(3)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列,公比為,若數(shù)列與都是“數(shù)列”,求的取值范圍.
【答案】(1); (2)見解析; (3).
【解析】
(1)根據(jù)數(shù)列的新定義,列出不等式組且,,即可求解;
(2)由等差數(shù)列,得到,進而得出,再由的單調(diào)性,得到,即可得到結(jié)論;
(3)設(shè)等比數(shù)列的公比為,分和時,結(jié)合數(shù)列的新定義,即可作差判定.
(1)由題意,數(shù)列滿足,稱是“數(shù)列”,
又由,,,,可得且,
解得,即的取值范圍是.
(2)由題意,數(shù)列的通項公式為,
則,
又由,可得數(shù)列隨著的增大而減小,
所以當(dāng)時,取得最大值,所以,
所以數(shù)列是“數(shù)列”.
(3)由題意得,等比數(shù)列的公比為,
由數(shù)列是“G的數(shù)列”,可得,即,
①當(dāng)時,所以,則,符合題意,
②當(dāng)時,則,則,
因為數(shù)列是“G的數(shù)列”,所以對恒成立,
(i)當(dāng)時,,
即對恒成立,
因為,
所以,
所以當(dāng)時,對恒成立;
(ii)當(dāng)時,,
即對恒成立,
因為,
所以,解得,
又,所以不存在滿足題意,
綜上可得,數(shù)列的公比的取值范圍是.
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【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)(其中)
(1)求實數(shù)m的值;
(2)已知關(guān)于x的方程在區(qū)間上有實數(shù)解,求實數(shù)k的取值范圍;
(3)當(dāng)時,的值域是,求實數(shù)n與a的值.
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【題目】已知是公差為的等差數(shù)列,是公比為的等比數(shù)列.
(1)若,是否存在,有?請說明理由;
(2)若(、為常數(shù),且)對任意,有,試求出、滿足的充要條件;
(3)若,,試確定所有,使數(shù)列中存在某個連續(xù)項的和是數(shù)列中的一項,請證明.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知曲線上的動點到點的距離與到直線的距離相等.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)過點分別作射線、交曲線于不同的兩點、,且.試探究直線是否過定點?如果是,請求出該定點;如果不是,請說明理由.
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【題目】某國際性會議紀念章的一特許專營店銷售紀念章,每枚進價為5元,同時每銷售一枚這種紀念章還需向該會議的組織委員會交特許經(jīng)營管理費2元,預(yù)計這種紀念章以每枚20元的價格銷售時,該店一年可銷售2000枚,經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),每枚紀念章的銷售價格在每枚20元的基礎(chǔ)上,每減少一元則增加銷售400枚,而每增加一元則減少銷售100枚,現(xiàn)設(shè)每枚紀念章的銷售價格為元(每枚的銷售價格應(yīng)為正整數(shù)).
(1)寫出該特許專營店一年內(nèi)銷售這種紀念章所獲得的利潤(元)與每枚紀念章的銷售價格的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)每枚紀念章銷售價格為多少元時,該特許專營店一年內(nèi)利潤(元)最大,并求出這個最大值;
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【題目】在數(shù)列中,,其中.
(1)若依次成公差不為0的等差數(shù)列,求m;
(2)證明:“”是“恒成立”的充要條件;
(3)若,求證:存在,使得.
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【題目】唐三彩,中國古代陶瓷燒制工藝的珍品,它吸取了中國國畫、雕塑等工藝美術(shù)的特點,在中國文化中占有重要的歷史地位,在中國的陶瓷史上留下了濃墨重彩的一筆.唐三彩的生產(chǎn)至今已有多年的歷史,對唐三彩的復(fù)制和仿制工藝,至今也有百余年的歷史.某陶瓷廠在生產(chǎn)過程中,對仿制的件工藝品測得重量(單位:)數(shù)據(jù)如下表:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
合計 |
(1)求出頻率分布表中實數(shù),的值;
(2)若從仿制的件工藝品重量范圍在的工藝品中隨機抽選件,求被抽選件工藝品重量均在范圍中的概率.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng)時,若實數(shù)滿足,求證:
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