Question

【題目】已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列.

（1）若，是否存在，有？請說明理由；

（2）若（、為常數(shù)，且）對任意，有，試求出、滿足的充要條件；

（3）若，，試確定所有，使數(shù)列中存在某個連續(xù)項(xiàng)的和是數(shù)列中的一項(xiàng)，請證明.

Answer 1

【答案】（1）不存在,理由見解析

（2），其中是大于等于的整數(shù)

（3）當(dāng)為偶數(shù)時，不存在，當(dāng)為奇數(shù)時，存在,證明見解析

【解析】

（1）利用數(shù)列的通項(xiàng)公式可得的方程，再利用奇偶性分析可得不存在滿足條件的.

（2）利用的通項(xiàng)公式，先取得到必要條件，再證明該條件為充分條件，從而得到原命題的充要條件.

（3）先取出中存在某個連續(xù)項(xiàng)的和，根據(jù)的通項(xiàng)的特征得到前者為不小于3的奇數(shù)，從而得到的性質(zhì).

（1）若存在，有，則，

所以，左邊是奇數(shù)，右邊是偶數(shù)，矛盾，

故不存在，使得.

（2）先考慮必要性：

因?yàn)閷θ我?/span>，有，取，

則即，故，其中，

令，故，其中且為整數(shù).

所以“，且為整數(shù)”是“任意，有”成立的必要條件.

下面考慮充分性，

若，，則，

故對任意的，

總有，取，則且，

故任意，有成立.

所以“任意，有”成立的充要條件為“，且為整數(shù)”.

（3）數(shù)列中連續(xù)項(xiàng)的和為，

因?yàn)?/span>為中的某一項(xiàng)，故，

所以為不小于的奇數(shù)，故為正奇數(shù)，

而，而均為奇數(shù)，總的個數(shù)為，

所以當(dāng)且僅當(dāng)為奇數(shù)時，的和才為奇數(shù)，

綜上為正奇數(shù)時，存在連續(xù)項(xiàng)的和為中的某一項(xiàng)，為正偶數(shù)時，不存在連續(xù)項(xiàng)的和為中的某一項(xiàng).