Question

18．已知m是實(shí)數(shù)，命題p：函數(shù)$f（x）={log_2}（{x^2}+m）$是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，命題q：函數(shù)g（x）=（m²-2m-2）^x是R上的減函數(shù)，若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p真時(shí)，x²+m＞0，可得m＞-x²，m＞0．命題q真時(shí)，則0＜m²-2m-2＜1，解得$-1＜m＜1-\sqrt{3}$，或$1+\sqrt{3}＜m＜3$．．由p∨q為真命題，p∧q為假命題，可得p與q必然一真一假．即可得出．

解答 解：命題p真時(shí)，x²+m＞0，∴m＞-x²，可得m＞0，
因此m的取值范圍為（0，+∞）．
命題q真時(shí)，則0＜m²-2m-2＜1，
解得$-1＜m＜1-\sqrt{3}$，或$1+\sqrt{3}＜m＜3$．
∴m的取值范圍為$（-1，1-\sqrt{3}）∪（1+\sqrt{3}，3）$，
∵p∨q為真命題，p∧q為假命題，∴p與q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{m≤-1或1-\sqrt{3}≤m≤1+\sqrt{3}或m≥3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m≤0}\\{-1＜m＜1-\sqrt{3}或1+\sqrt{3}＜m＜3}\end{array}\right.$．
解得$0＜m≤1+\sqrt{3}$，或m≥3，或$-1＜m＜1-\sqrt{3}$．
∴所求m的取值范圍為$（-1，1-\sqrt{3}）∪（0，1+\sqrt{3}]∪[3，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．