Question

7．已知曲線C₁，C₂的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2cosθ，$\sqrt{2}ρsin（θ-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，射線θ=φ，$θ=φ+\frac{π}{4}$，$θ=φ-\frac{π}{4}$與曲線C₁交于（不包括極點(diǎn)O）三點(diǎn)A，B，C．
（Ⅰ）求證：$|OB|+|OC|=\sqrt{2}|OA|$；
（Ⅱ）當(dāng)$φ=\frac{π}{12}$時(shí)，求點(diǎn)B到曲線C₂上的點(diǎn)的距離的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別表示出|OB|和|OC|，根據(jù)三角恒等變換證明即可；
（Ⅱ）求出曲線C₂的直角坐標(biāo)方程，求出B的直角坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出其最小值即可．

解答 （Ⅰ）證明：依題意|OA|=2cosφ，$|OB|=2cos（φ+\frac{π}{4}）$，$|OC|=2cos（φ-\frac{π}{4}）$，
則$|OB|+|OC|=2cos（φ+\frac{π}{4}）+2cos（φ-\frac{π}{4}）$
=$2[cosφcos\frac{π}{4}-sinφsin\frac{π}{4}+cosφcos\frac{π}{4}+sinφsin\frac{π}{4}]=4cosφcos\frac{π}{4}$
=$2\sqrt{2}cosφ=\sqrt{2}|OA|$．
（Ⅱ）解：∵$\sqrt{2}ρsin（θ-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$ρsinθ-ρcosθ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為$x-y+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=0$．
又∵B極坐標(biāo)為（1，$\frac{π}{3}$），化為直角坐標(biāo)為$（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
∴B到曲線C₂的距離為$d=\frac{{|\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．
∴所求距離的最小值為$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角恒等變換，考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．