Question

【題目】已知曲線(xiàn).

(1)求曲線(xiàn)在點(diǎn)P(2,4)處的切線(xiàn)方程；

(2)求曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線(xiàn)方程；

(3)求斜率為1的曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程．

Answer 1

【答案】（1）4x－y－4＝0；（2）x－y＋2＝0或4x－y－4＝0；（3）x－y＋2＝0或3x－3y＋2＝0.

【解析】試題分析：（1）求曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)，只要求出導(dǎo)函數(shù)，則切線(xiàn)方程為；

（2））求曲線(xiàn)過(guò)某點(diǎn)的切線(xiàn)，需要設(shè)切點(diǎn)為，求出導(dǎo)函數(shù)，寫(xiě)出切線(xiàn)方程為，代入點(diǎn)求得即可；

（3）求斜率為的切線(xiàn)方程，可解方程，求出切點(diǎn)，再得切線(xiàn)方程．

試題解析：

(1)∵P(2,4)在曲線(xiàn)y＝x3＋上，且y′＝x2，

∴在點(diǎn)P(2,4)處的切線(xiàn)的斜率為y′|x＝2＝4.

∴曲線(xiàn)在點(diǎn)P(2,4)處的切線(xiàn)方程為y－4＝4(x－2)，

即4x－y－4＝0.

(2)設(shè)曲線(xiàn)y＝x3＋與過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線(xiàn)相切于點(diǎn)A，則切線(xiàn)的斜率為y′|x＝x0＝x.

∴切線(xiàn)方程為y－＝x (x－x0)，

即y＝x·x－x＋.

∵點(diǎn)P(2,4)在切線(xiàn)上，∴4＝2x－x＋，

即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，

∴x (x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，

∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切線(xiàn)方程為x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.

(3)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則切線(xiàn)的斜率為x＝1，x0＝±1.

切點(diǎn)為(－1,1)或，

∴切線(xiàn)方程為y－1＝x＋1或y－＝x－1，

即x－y＋2＝0或3x－3y＋2＝0.