Question

【題目】已知.

（1）若方程在上有實數根，求實數的取值范圍；

（2）若在上的最小值為，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】試題分析：⑴化簡方程，令求導，算出單調性，轉化為函數與在有交點，利用斜率求得參量取值范圍(2)求導，分別討論、、

三種情況的最小值，求解符合題目的參數的值

解析：（1）方程可化為，

令，

則 ，

由可得，由可得，

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

∴的極小值為，而， ，

要使方程在上有實數根，

只需使得函數與在有交點，

∵點與連線的斜率為，

點與連線的斜率為，且，

∴結合圖像可得時，函數與有交點.

∴方程在上有實數根時，

實數的取值范圍是

（2）由可得，

①若，則在上恒成立，即在單調遞減，

則的最小值為，故，

滿足；

②若，則在上恒成立，即在單調遞增，

則的最小值為，故，不滿足，舍去；

③若，則時， ； 時， .

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

∴的最小值為 ，即.

令，則，

∴在上單調遞增，∴，

，而，故不可能成立.

綜上可知，實數的值為.