Question

7．已知以F為焦點(diǎn)的拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-1，A、B、C為該拋物線上不同的三點(diǎn)，且點(diǎn)B在x軸的下方，若|${\overrightarrow{FA}}$|、|${\overrightarrow{FB}}$|、|${\overrightarrow{FC}}$|成等差數(shù)列，且$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=0，則直線AC的方程為（　　）

• A． y=x
• B． y=x+1
• C． y=2x+1
• D． y=2x-1

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程求出p，設(shè)A，B，C的坐標(biāo)，根據(jù)|${\overrightarrow{FA}}$|、|${\overrightarrow{FB}}$|、|${\overrightarrow{FC}}$|成等差數(shù)列，且點(diǎn)B在x軸下方，若$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=0，求出x₁+x₃=2，x₂=1，然后求出直線AC的斜率和A，C的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)行求解即可．

解答 解：拋物線y²=2px（p＞0），則拋物線的準(zhǔn)線方程是x=-$\frac{p}{2}$=-1，
∴p=2，
即拋物線方程為y²=4x，F(xiàn)（1，0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
|${\overrightarrow{FA}}$|、|${\overrightarrow{FB}}$|、|${\overrightarrow{FC}}$|成等差數(shù)列，
2|${\overrightarrow{FB}}$|=|${\overrightarrow{FA}}$|+|${\overrightarrow{FC}}$|，即x₁+1+x₃+1=2（x₂+1），
即x₁+x₃=2x₂，
∵$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=0，
∴（x₁-1+x₂-1+x₃-1，y₁+y₂+y₃）=0，
∴x₁+x₂+x₃=3，y₁+y₂+y₃=0，
則x₁+x₃=2，x₂=1，
由y₂²=4x₂=4，則y₂=-2或2（舍），
則y₁+y₃=2，
則AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），即（1，1），
AC的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{3}}{{x}_{1}-{x}_{3}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{3}}{\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-\frac{{y}_{3}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{3}}$=$\frac{4}{2}$=2，
則直線AC的方程為y-1=2（x-1），
即y=2x-1，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，根據(jù)條件求出直線AB的斜率和AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大，屬于中檔題．