Question

16．已知橢圓的標準方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，一個過點P（2，-3）的雙曲線的長軸的端點為橢圓的焦點，求雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析 先求出橢圓長軸端點，可得雙曲線的焦點為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），焦點在x軸上且c=2，再利用雙曲線的定義，求出a，可得b，即可求雙曲線的標準方程．

解答 解：由橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，知：橢圓的長軸端點為（-2，0）和（2，0），
所以，雙曲線的焦點為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），焦點在x軸上且c=2．
由雙曲線的定義知，2a=|$\sqrt{（-2-2）^{2}+（0+3）^{2}}$-$\sqrt{（2-2）^{2}+（0+3）^{2}}$|=5-3=2．
所以a=1，
所以b=$\sqrt{3}$，
所以雙曲線的標準方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

點評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查雙曲線的定義與方程，考查學生的計算能力，比較基礎．