Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+m}$是定義在R上的奇函數(shù)．
（Ⅰ）求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)奇函數(shù)的定義，構(gòu)造關(guān)于a的方程組，容易求出a的值．
（Ⅱ）根據(jù)解析式的特點，利用反表示法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖鈴和性質(zhì)，可求函數(shù)的值域；

解答 解：（Ⅰ）因為函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+m}$定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+m}$=$\frac{{-（2}^{x}-1）}{{m2}^{x}+1}$=-f（x）=$\frac{{-（2}^{x}-1）}{{2}^{x}+m}$，
解得：m=1；
（Ⅱ）∵f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，則2^x=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，
由2^x＞0，得 $\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$＞0，
∴f（x）∈（-1，1），
即f（x）的值域為（-1，1）．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，根據(jù)奇偶性的定義求出m值，是解決該類問題的關(guān)鍵．