【題目】如圖，三棱柱中，D是的中點.

（1）證明：平面；

（2）若是邊長為2的正三角形，且，，平面平面.求平面與側面所成二面角的正弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連接，記，連接，證明得到答案.

（2）證明，，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系，計算平面和平面的法向量，利用向量夾角公式得到答案.

（1）連接，記，連接，故為中點，

D是的中點，所以，又平面，平面.

故平面.

（2）取邊中點點O，連接，，因為，為等邊三角形，，所以，，

又平面平面，且平面平面，

平面，所以，，兩兩互相垂直.

故以O為原點，建立空間直角坐標系如圖所示：

則由題意可知，，.

設平面的法向量，則，即，

令，解得，得.

顯然平面的一個法向量為.

∴，

∴二面角的正弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】在生活中，我們常看到各種各樣的簡易遮陽棚.現(xiàn)有直徑為的圓面，在圓周上選定一個點固定在水平的地面上，然后將圓面撐起，使得圓面與南北方向的某一直線平行，做成簡易遮陽棚.設正東方向射出的太陽光線與地面成角，若要使所遮陰影面的面積最大，那么圓面與陰影面所成角的大小為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】某藥業(yè)公司統(tǒng)計了2010-2019年這10年某種疾病的患者人數(shù)，結論如下：該疾病全國每年的患者人數(shù)都不低于100萬，其中有3年的患者人數(shù)低于200萬，有6年的患者人數(shù)不低于200萬且低于300萬，有1年的患者人數(shù)不低于300萬.

（1）藥業(yè)公司為了解一新藥品對該疾病的療效，選擇了200名患者，隨機平均分為兩組作為實驗組和對照組，實驗結束時，有顯著療效的共110人，實驗組中有顯著療效的比率為70％.請完成如下的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99.9％把握認為該藥品對該疾病有顯著療效；

實驗組

對照組

合計

有顯著療效

無顯著療效

合計

200

（2）藥業(yè)公司最多能引進3條新藥品的生產線，據(jù)測算，公司按如下條件運行生產線：

該疾病患者人數(shù)（單位：萬）

最多可運行生產線數(shù)

1

2

3

每運行一條生產線，可產生年利潤6000萬元，沒運行的生產線毎條每年要虧損1000萬元.根據(jù)該藥業(yè)公司這10年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，將患者人數(shù)在以上三段的頻率視為相應段的概率、假設各年的患者人數(shù)相互獨立.欲使該藥業(yè)公司年總利潤的期望值達到最大，應引進多少條生產線？

附：參考公式：，其中.

0.05

0.025

0.010

0.001

3.841

5.024

6.635

10.828

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【題目】已知直線l：3x+4y+m=0，圓C：x2+y2－4x+2=0，則圓C的半徑r=_____；若在圓C上存在兩點A，B，在直線l上存在一點P，使得∠APB=90°，則實數(shù)m的取值范圍是____．

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【題目】端午節(jié)是我國民間為紀念愛國詩人屈原的一個傳統(tǒng)節(jié)日.某市為了解端午節(jié)期間粽子的銷售情況，隨機問卷調查了該市1000名消費者在去年端午節(jié)期間的粽子購買量（單位：克），所得數(shù)據(jù)如下表所示：

購買量

人數(shù)

100

300

400

150

50

將煩率視為概率

（1）試求消費者粽子購買量不低于300克的概率；

（2）若該市有100萬名消費者，請估計該市今年在端午節(jié)期間應準備多少千克棕子才能滿足市場需求（以各區(qū)間中點值作為該區(qū)間的購買量）.

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【題目】將含有甲、乙、丙的6名醫(yī)護人員平均分成兩組到A、B兩家醫(yī)院參加“防疫救護”工作，則甲、乙至少有一人在A醫(yī)院且甲、丙不在同一家醫(yī)院參加“防疫救護”工作的概率為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】已知曲線C的極坐標方程是.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），直線l與曲線C相交于A，B兩點.

（1）求的長；

（2）求點到A，B兩點的距離之積.

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（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這個零件尺寸的中位數(shù)（結果精確到）；

（2）若從這個零件中尺寸位于之外的零件中隨機抽取個，設表示尺寸在上的零件個數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望；

（3）已知尺寸在上的零件為一等品，否則為二等品，將這個零件尺寸的樣本頻率視為概率. 現(xiàn)對生產線上生產的零件進行成箱包裝出售，每箱個. 企業(yè)在交付買家之前需要決策是否對每箱的所有零件進行檢驗，已知每個零件的檢驗費用為元. 若檢驗，則將檢驗出的二等品更換為一等品；若不檢驗，如果有二等品進入買家手中，企業(yè)要向買家對每個二等品支付元的賠償費用. 現(xiàn)對一箱零件隨機抽檢了個，結果有個二等品，以整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值作為決策依據(jù)，該企業(yè)是否對該箱余下的所有零件進行檢驗？請說明理由.

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