Question

8．已知f（x）是二次函數(shù)，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x²-2）的值域．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出二次函數(shù)的解析式由f（0）=0可求c=0，再由f（x+1）=f（x）+x+1構(gòu)造方程組可求a、b的值，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可．
（2）利用換元法設(shè)t=x²-2，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c
∵f（0）=a×0+b×0+c=0，∴c=0
∴f（x）=ax²+bx，
又∵f（x+1）=f（x）+x+1，
∴a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+x+1
∴ax²+2ax+a+bx+b=ax²+bx+x+1
∴2ax+（a+b）=x+1
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=1}\\{a+b=1}\end{array}$，解得a=$\frac{1}{2}，b=\frac{1}{2}$
∴f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}$x．
（2）f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，對稱軸為x=-$\frac{1}{2}$，
y=f（x²-2）=$\frac{1}{2}$（x²-2）²+$\frac{1}{2}$（x²-2）=$\frac{1}{2}$x⁴-$\frac{3}{2}$x²+1=$\frac{1}{2}$（x²-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{8}$
∴當(dāng)x²=$\frac{3}{2}$時，函數(shù)y取得最小值-$\frac{1}{8}$，
故函數(shù)的值域為[-$\frac{1}{8}$，+∞）．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，利用待定系數(shù)法，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．