Question

12．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）求曲線C的平面直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線l與曲線C交于點M，N，若點P的坐標為（1，0），求點P與MN中點的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展開得${ρ}^{2}=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出；
（II）把直線l的標準參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程可得${t}^{2}-\sqrt{2}t$-1=0，由t的幾何意義，可得點P與MN中點的距離為$|\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}|$．

解答 解：（Ⅰ）由曲線C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展開得${ρ}^{2}=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ），
可得直角坐標方程為：x²+y²=2y+2x，配方為（x-1）²+（y-1）²=2．
（Ⅱ）把直線l的標準參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程，得$（\frac{\sqrt{2}}{2}t）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}t-1）^{2}$=2，即${t}^{2}-\sqrt{2}t$-1=0，
由于△=6＞0，可設t₁，t₂是上述方程的兩實根，則${t_1}+{t_2}=\sqrt{2}$．
∵直線l過點P（1，0），
∴由t的幾何意義，可得點P與MN中點的距離為$|{\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線參數(shù)方程的應用、中點坐標公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．