Question

17．已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^{2}+（y-2）^{2}≤1}\\{x-y-1≥0}\end{array}\right.$，則z=$\frac{y}{x-2}$的最小值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義以及直線的斜率公式即可得到結(jié)論

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域陰影部分，如圖：
z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)（2，0）的斜率，
由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值，當(dāng)直線與下半圓相切時(shí)，
z取得最小值，
由z=$\frac{y}{x-2}$得，y=zx-2z，即zx-y-2z=0，
由圓心到直線的距離d=$\frac{|3z-2-2z|}{\sqrt{1+{z}^{2}}}$=1，
解得z=$\frac{3}{4}$，
故z=$\frac{y}{x-2}$的最小值為$\frac{3}{4}$；
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用直線和圓的位置關(guān)系，以及z的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．