Question

【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形,側(cè)面底面ABCD,且,若E,F分別為PC,BD的中點(diǎn).

(I)求證:EF//平面PAD;

(II)求三棱錐F-DEC的體積;

(III)在線段CD上是否存在一點(diǎn)G,使得平面平面PDC?若存在,請(qǐng)說(shuō)明其位置,并加以證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；(II)；(Ⅲ) 的中點(diǎn)為滿足條件的點(diǎn)

【解析】

（I）連接交于,利用三角形的中位線定理即可得到,再利用線面平行的判定定理即可證明；
（II）取的中點(diǎn),連接．由等腰三角形的性質(zhì)可得,再利用面面垂直的性質(zhì)可得底面,計(jì)算出三棱錐的高,利用三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出；
（III）易得的中點(diǎn)滿足條件,再證明平面即可證明平面平面PDC.

(Ⅰ)證明：連接,則是的中點(diǎn),在中, ，

∵平面，平面，

∴平面；

(Ⅱ)如圖，取的中點(diǎn)，連接.

∵，∴.

∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，平面，

∴底面.

∵為的中點(diǎn)，∴三棱錐的高為，

∵，且，∴，∴,

∴三棱錐的體積是.

(Ⅲ) 的中點(diǎn)為滿足條件的點(diǎn)

證明：取的中點(diǎn),連接,

則因?yàn)?/span>E,F分別為PC,BD的中點(diǎn),為的中點(diǎn),故為的中位線,

故,平面，平面，故平面.

同理平面.因?yàn)?/span>,故平面平面.

又正方形,故,

又側(cè)面底面，側(cè)面底面,平面，

故平面,故平面.

又平面,故平面平面PDC

故的中點(diǎn)為滿足條件的點(diǎn).