Question

13．求函數(shù)的值域．
（1）y=$\frac{2x+1}{3x-1}$，x∈[0，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}$，2]．
（2）y=$\frac{x-1}{{x}^{2}-2x+3}$．

Answer 1

分析 （1）分離常數(shù)便可得到$y=\frac{2}{3}+\frac{1}{3（3x-1）}$，根據(jù)x的范圍可以求出$\frac{1}{3x-1}$的范圍，從而求出y的范圍，即得出該函數(shù)的值域；
（2）可由原函數(shù)得到y(tǒng)x²-（2y+1）x+3y+1=0，看成關(guān)于x的方程，方程有解，判斷該方程是否為一元二次方程，從而討論y：y=0，容易得出滿足方程有解，而y≠0時(shí)，y便需滿足△≥0，求出y的范圍，并合并y=0便可得出該函數(shù)的值域．

解答 解：（1）$y=\frac{2x+1}{3x-1}=\frac{\frac{2}{3}（3x-1）+\frac{1}{3}}{3x-1}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3（3x-1）}$；
①x∈[0，$\frac{1}{3}$）時(shí)，-1≤3x-1＜0，$\frac{1}{3x-1}≤-1$；
$y≤\frac{1}{3}$；
②x∈（$\frac{1}{3}$，2]時(shí)，0＜3x-1≤5，$\frac{1}{3x-1}≥\frac{1}{5}$；
∴$y≥\frac{11}{15}$；
∴該函數(shù)的值域?yàn)椋?（-∞，\frac{1}{3}]∪[\frac{11}{15}，+∞）$；
（2）將原函數(shù)變成：yx²-2yx+3y=x-1；
整理得：yx²-（2y+1）x+3y+1=0，看成關(guān)于x的方程，方程有解；
①若y=0，則-x+1=0，滿足方程有解；
②若y≠0，則：
△=（2y+1）²-4y（3y+1）≥0；
解得$-\frac{\sqrt{2}}{4}≤y≤\frac{\sqrt{2}}{4}$；
∴該函數(shù)的值域?yàn)椋篬$-\frac{\sqrt{2}}{4}，\frac{\sqrt{2}}{4}$]．

點(diǎn)評 考查函數(shù)值域的概念，分離常數(shù)法的運(yùn)用，根據(jù)不等式的性質(zhì)求函數(shù)的值域，以及形如$y=\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的函數(shù)值域的求法：整理成關(guān)于x的方程的形式，根據(jù)方程有解求其值域．