Question

已知曲線C₁：

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數(shù)），直線C₂

x=1-2t y=2t

（t為參數(shù)）
（1）將曲線C₁與C₂的參數(shù)方程化為普通方程．
（2）若曲線C₁與C₂交于A，B兩點，求AB的長．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）可由sin²θ+cos²θ=1，消去θ，得到C₁的方程；通過代入法，可得C₂的方程；
（2）聯(lián)立橢圓方程和直線方程，消去y，得到二次方程，運用韋達定理和弦長公式，即可得到．

解答： 解：（1）曲線C₁：

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數(shù)），
可由sin²θ+cos²θ=1，消去θ，
得到普通方程為：C1：

x2

4

+

y2

3

=1，
直線C₂

x=1-2t y=2t

（t為參數(shù)），
化為普通方程得，C₂：x+y-1=0；
（2）由

y=1-x x2 4 + y2 3 =1

消去y，得7x²-8x-8=0，
設A，B兩點（x₁，y₁），（x₂，y₂），則有x₁+x₂=

8

7

，x₁x₂=-

8

7

，
則|AB|=

1+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

64 49 + 32 7

=

24

7

．

點評：本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化，考查直線和橢圓的位置關系，考查弦長公式的運用，屬于中檔題．