Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2ax³-（6a+3）x²+12x（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，來確定極值點，最后代入函數(shù)求出極大值與極小值；
（2）欲使函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1）上是增函數(shù)，只需使在區(qū)間（-∞，1）上f′（x）≥0恒成立，注意分類討論即可．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=2x³-9x²+12x（1分）
∴f′（x）=6x²-18x+12=6（x²-3x+2），（2分）
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=2，列表

∴f（x）的極大值為f（1）=5，f（x）的極小值為f（2）=4（6分）
（Ⅱ）f′（x）=6ax²-（12a+6）x+12=6[ax²-（2a+1）x+2]=6（ax-1）（x-2）（7分）
①若a=0，則f（x）=-3x²+12x，
此函數(shù)在（-∞，2）上單調(diào)遞增，滿足題意（8分）
②若a≠0，則令f′（x）=0，得x₁=2，x2=

1

a

，
由已知，f（x）在區(qū)間（-∞，1）上是增函數(shù)，
即當(dāng)x＜1時，f′（x）≥0恒成立（10分）
若a＞0，則只須

1

a

≥1，即0＜a≤1（11分）
若a＜0，則

1

a

＜0，當(dāng)x＜

1

a

時，f'（x）＜0，
則f（x）在區(qū)間（-∞，1）上不是增函數(shù)
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[0，1]（13分）

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的極值等有關(guān)知識，屬于中檔題．