Question

19．已知函數(shù)f（x）=|x²+2x|，x∈R，若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4個(gè)互異的小于1的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，4-2$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 作出f（x）=|x²+2x|與y=a|x-1|的函數(shù)圖象，令兩圖象相切求出臨界值，即可得出a的范圍．

解答 解：∵方程f（x）-a|x-1|=0恰有4個(gè)互異的小于1的實(shí)數(shù)根，
∴y=f（x）與y=a|x-1|在（-∞，1）上有四個(gè)交點(diǎn)，
作出f（x）=|x²+2x|與y=a|x-1|的函數(shù)圖象如圖所示：

顯然a＞0，
當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，f（x）=-x²-2x，
設(shè)直線y=-ax+a與f（x）在（-2，0）上的函數(shù)圖象相切，
把y=-ax+a代入y=-x²-2x得x²+（2-a）x+a=0，
由△=（2-a）²-4a=0得a=4+2$\sqrt{3}$或a=4-2$\sqrt{3}$．
當(dāng)a=4+2$\sqrt{3}$時(shí)，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=-$\frac{2-a}{2}$=1+$\sqrt{3}$＞0，不符合題意；
∴a=4-2$\sqrt{3}$．
∴當(dāng)0$＜a＜4-2\sqrt{3}$時(shí)，兩圖象有4個(gè)交點(diǎn)．
故答案為：（0，4-2$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．