Question

20．已知如表為“五點(diǎn)法”繪制函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）圖象時(shí)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）．

x	$-\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
f（x）	0	2	0	-2	0

（Ⅰ） 請(qǐng)寫出函數(shù)f（x）的解析式，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ） 求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)列表可知A=2，求解周期可得ω，選取一個(gè)坐標(biāo)即可求解φ，可得解析式．將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ） x∈$[0，\frac{π}{2}]$上時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的取值范圍．

解答 解：（ I）由題意，可得A=2
周期$T=\frac{5}{6}π-（-\frac{π}{6}）=π$，
即$T=\frac{2π}{ω}=π$，
∴ω=2．
又A=2，可得f（x）=2sin（2x+φ），
圖象過(guò)點(diǎn)（$\frac{π}{12}$，2），將$（\frac{π}{12}，2）$代入f（x），
有$2sin（\frac{π}{6}+φ）=2$，即$sin（\frac{π}{6}+φ）=1$．
∵|φ|＜π，
∴$φ+\frac{π}{6}∈（-\frac{5}{6}π，\frac{7}{6}π）$，
因此$φ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$φ=\frac{π}{3}$．
故$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$．
∵函數(shù)y=sinx的單調(diào)區(qū)間為$2kπ-\frac{π}{2}＜x＜2kπ+\frac{π}{2}$，
∴令$2kπ-\frac{π}{2}＜2x+\frac{π}{3}＜2kπ+\frac{π}{2}$，
即     $2kπ-\frac{5π}{6}＜2x＜2kπ+\frac{π}{6}$，
解得     $kπ-\frac{5π}{12}＜x＜kπ+\frac{π}{12}$，
∴f（x）的增區(qū)間為$（kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}），（k∈Z）$
（ II）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴有$2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$，
∴當(dāng) $x=\frac{π}{12}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為2，
當(dāng) $x=\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值$-\sqrt{3}$，
故得函數(shù)f（x）在 $[0，\frac{π}{2}]$上的取值范圍為$[-\sqrt{3}，2]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)列表求出三角函數(shù)的解析式式關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．