【題目】已知拋物線:上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ) 已知直線不過(guò)點(diǎn)且與相交于,兩點(diǎn),且直線與直線的斜率之積為1,證明:過(guò)定點(diǎn).
【答案】(Ⅰ)y2=x;(Ⅱ)證明見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:由題意求得,再根據(jù)拋物線的定義推導(dǎo)出,求得的值,代入即可求得的方程證法一:設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程解出,代入求出結(jié)果;證法二:設(shè)
表示出,設(shè):,聯(lián)立直線與拋物線方程得,,代入求出結(jié)果;證法三:設(shè):,聯(lián)立直線與拋物線方程,代入,化簡(jiǎn)求出結(jié)果
解析:(Ⅰ)由題意,得,即.
由拋物線的定義,得.
由題意,.解得,或(舍去).
所以的方程為.
(Ⅱ)證法一:設(shè)直線的斜率為(顯然),則直線的方程為,則.
由消去并整理得 .
設(shè),由韋達(dá)定理,得,即.
.所以.
由題意,直線的斜率為.
同理可得,即.
若直線的斜率不存在,則.解得,或.
當(dāng)時(shí),直線與直線的斜率均為,,兩點(diǎn)重合,與題意不符;
當(dāng)時(shí),直線與直線的斜率均為,,兩點(diǎn)重合,與題意不符.
所以,直線的斜率必存在.
直線的方程為 ,即.
所以直線過(guò)定點(diǎn).
證法二:由(1),得.
若的斜率不存在,則與軸垂直.
設(shè),則,.
則 .
(,否則,,則,或,直線過(guò)點(diǎn),與題設(shè)條件矛盾)
由題意,,所以.這時(shí),兩點(diǎn)重合,與題意不符.
所以的斜率必存在.
設(shè)的斜率為,顯然,設(shè):,
由直線不過(guò)點(diǎn),所以.
由消去并整理得.
由判別式,得.
設(shè),,則①,②,
則 .
由題意,.
故 ③
將①②代入③式并化簡(jiǎn)整理得,即.
即,即.
又,即,所以,即.
所以:.顯然過(guò)定點(diǎn).
證法三:由(1),得.
設(shè):,由直線不過(guò)點(diǎn),所以.
由消去并整理得.
由題意,判別式.
設(shè),,則①,②
則 .
由題意,,即③
將①②代入③式得,即.
所以:.顯然過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市大力推廣純電動(dòng)汽車(chē),對(duì)購(gòu)買(mǎi)用戶依照車(chē)輛出廠續(xù)駛里程的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn),予以地方財(cái)政補(bǔ)貼.其補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表:
2017年底隨機(jī)調(diào)査該市1000輛純電動(dòng)汽車(chē),統(tǒng)計(jì)其出廠續(xù)駛里程,得到頻率分布直方圖如圖所示.
用樣本估計(jì)總體,頻率估計(jì)概率,解決如下問(wèn)題:
(1)求該市純電動(dòng)汽車(chē)2017年地方財(cái)政補(bǔ)貼的均值;
(2)某企業(yè)統(tǒng)計(jì)2017年其充電站100天中各天充電車(chē)輛數(shù),得如下的頻數(shù)分布表:
(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)
2018年2月,國(guó)家出臺(tái)政策,將純電動(dòng)汽車(chē)財(cái)政補(bǔ)貼逐步轉(zhuǎn)移到充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)上來(lái).該企業(yè)擬將轉(zhuǎn)移補(bǔ)貼資金用于添置新型充電設(shè)備.現(xiàn)有直流、交流兩種充電樁可供購(gòu)置.直流充電樁5萬(wàn)元/臺(tái),每臺(tái)每天最多可以充電30輛車(chē),每天維護(hù)費(fèi)用500元/臺(tái); 交流充電樁1萬(wàn)元/臺(tái),每臺(tái)每天最多可以充電4輛車(chē),每天維護(hù)費(fèi)用80元/臺(tái).
該企業(yè)現(xiàn)有兩種購(gòu)置方案:
方案一:購(gòu)買(mǎi)100臺(tái)直流充電樁和900臺(tái)交流充電樁;
方案二:購(gòu)買(mǎi)200臺(tái)直流充電樁和400臺(tái)交流充電樁.
假設(shè)車(chē)輛充電時(shí)優(yōu)先使用新設(shè)備,且充電一輛車(chē)產(chǎn)生25元的收入,用2017年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),分別估計(jì)該企業(yè)在兩種方案下新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤(rùn).(日利潤(rùn)日收入日維護(hù)費(fèi)用)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某籃球隊(duì)對(duì)籃球運(yùn)動(dòng)員的籃球技能進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究,針對(duì)籃球運(yùn)動(dòng)員在投籃命中時(shí),運(yùn)動(dòng)員在籃筐中心的水平距離這項(xiàng)指標(biāo),對(duì)某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了若干場(chǎng)次的統(tǒng)計(jì),依據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制如下頻率分布直方圖:
(Ⅰ)依據(jù)頻率分布直方圖估算該運(yùn)動(dòng)員投籃命中時(shí),他到籃筐中心的水平距離的中位數(shù);
(Ⅱ)在某場(chǎng)比賽中,考察他前4次投籃命中到籃筐中心的水平距離的情況,并且規(guī)定:運(yùn)動(dòng)員投籃命中時(shí),他到籃筐中心的水平距離不少于4米的記1分,否則扣掉1分.用隨機(jī)變量X表示第4次投籃后的總分,將頻率視為概率,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線截以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓所得的弦長(zhǎng)為.
(1)求圓的方程;
(2)若直線與圓切于第一象限,且與坐標(biāo)軸交于點(diǎn),,當(dāng)時(shí),求直線的方程;
(3)設(shè),是圓上任意兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,若直線,分別交軸于點(diǎn)和,問(wèn)是否為定值?若是,請(qǐng)求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某籃球隊(duì)對(duì)籃球運(yùn)動(dòng)員的籃球技能進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究,針對(duì)籃球運(yùn)動(dòng)員在投籃命中時(shí),運(yùn)動(dòng)員在籃筐中心的水平距離這項(xiàng)指標(biāo),對(duì)某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了若干場(chǎng)次的統(tǒng)計(jì),依據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制如下頻率分布直方圖:
(Ⅰ)依據(jù)頻率分布直方圖估算該運(yùn)動(dòng)員投籃命中時(shí),他到籃筐中心的水平距離的中位數(shù);
(Ⅱ)在某場(chǎng)比賽中,考察他前4次投籃命中到籃筐中心的水平距離的情況,并且規(guī)定:運(yùn)動(dòng)員投籃命中時(shí),他到籃筐中心的水平距離不少于4米的記1分,否則扣掉1分.用隨機(jī)變量X表示第4次投籃后的總分,將頻率視為概率,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某名校從2008年到2017年考入清華、北大的人數(shù)可以通過(guò)以下表格反映出來(lái).(為了方便計(jì)算,將2008年編號(hào)為1,2009年編號(hào)為2,以此類(lèi)推……)
年份 | ||||||||||
人數(shù) |
(1)根據(jù)最近5年的數(shù)據(jù),利用最小二乘法求出與之間的線性回歸方程,并用以預(yù)測(cè)2018年該校考入清華、北大的人數(shù);(結(jié)果要求四舍五入至個(gè)位)
(2)從這10年的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2年,記其中考入清華、北大的人數(shù)不少于的有年,
求的分布數(shù)列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在2019迎新年聯(lián)歡會(huì)上,為了活躍大家氣氛,設(shè)置了“摸球中獎(jiǎng)”游戲,桌子上放置一個(gè)不透明的箱子,箱子中有3個(gè)黃色、3個(gè)白色的乒乓球(其體積、質(zhì)地完全相同)游戲規(guī)則:從箱子中隨機(jī)摸出3個(gè)球,若摸得同一顏色的3個(gè)球,摸球者中獎(jiǎng)價(jià)值50元獎(jiǎng)品;若摸得非同一顏色的3個(gè)球,摸球者中獎(jiǎng)價(jià)值20元獎(jiǎng)品.
(1)摸出的3個(gè)球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌?
(2)假定有10人次參與游戲,試從概率的角度估算一下需要準(zhǔn)備多少元錢(qián)購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其用電量都在50度至350度之間,頻率分布直方圖如圖所示.
(1)根據(jù)直方圖求x的值,并估計(jì)該小區(qū)100戶居民的月均用電量(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)從該小區(qū)已抽取的100戶居民中,隨機(jī)抽取月用電量超過(guò)250度的3戶,參加節(jié)約用電知識(shí)普及講座,其中恰有ξ戶月用電量超過(guò)300度,求ξ的分布列及期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,四邊形是菱形,⊥平面且.
(1)求證:平面⊥平面;
(2)若設(shè)與平面所成夾角為,且,求二面角的余弦值.
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